Question

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C₂：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线．公切线上两个切点间的线段，称为公切线段．

　　(1)问a取何值时，抛物线C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

　　(2)若抛物线C₁与C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分

Answer 1

答案：
解析：

(1)函数y=x2+2x的导数为y′=2x+2，故曲线C1在点P(x1，+2x1)的切线方程为 　　y=(2x1+2)x-　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　① 　　同理，曲线C2在点Q(x2，-+a)的切线方程为 　　y=-2x2x++a　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　由于C1和C2仅有一条公切线，所以①、②为同一方程， 　　故有，消去x2 　　得2+2x1+1+a=0 　　由D=0，得a=-，此时，x1=-，P与Q重合． 　　故当a=-时，抛物线C1和C2有且仅有一条公切线，其公切线方程为y=x-． 　　(2)由(1)知，当a＜-时，C1与C2有两条公切线．设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1，y1+y2=(+2x1)+(-+a)=+2x1 -(x1+1)2+a=-1+a 　　所以线段PQ的中点为(，)． 　　同理另一条公切线段P′Q′的中点也是(，) 　　故公切线段PQ和P′Q′互相平分．