Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的最大值；

（2）当，确定函数零点的个数；

（3）若存在正实数对，使得当时，能成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）个；（3）.

【解析】

（1）由题意可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法和基本不等式可求得实数的最大值；

（2）当时，，利用导数分析函数的单调性，并求出该函数的极大值和极小值，进而可得出函数的零点个数；

（3）当时，由可得，令，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，，

由题意可知对任意的恒成立，，

当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，因此，实数的最大值为；

（2）当时，，定义域为，.

令，得或，列表如下：

		极大值		极小值

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

所以，函数的极大值为，极小值为，

且，

所以，函数只有一个零点；

（3），，

，

令，得，构造函数，，

令，得，，解得，

当时， ；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

所以，函数的最小值为，

当时，；当时，.

因此，实数的取值范围是.