Question

圆C:(x-1)²+(y-2)²=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).

(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒相交于两点;

(2)求直线l被C截得的线段的最短弦长.

Answer 1

(1)证明:将直线l的方程变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.

由得

∴直线l过定点(3,1).而＜5,

∴点(3,1)在圆C内.故直线l与圆C必相交.

(2)解析:又圆心(1,2)和定点(3,1)连线l₁的斜率k₁=-,

∴当l⊥l₁时,其弦长最短,

此时由k=-得m=-.对应的最短弦长为2=4.