Question

已知函数y=x³-3mx²-4n³(mn≠0),过原点作函数图象的一条切线,切点A恰好是函数的极值点.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明:m+n=0.

(3)记f(x)=x³-3mx²-4n³(m<0),当x∈[-1,1]时,总有f(x)>-1,求m的取值范围.

Answer 1

解：(1)先求导,得y′=3x²-6mx, 令y′=0,得x=0,或x=2m.

   则根据题意可知,点A的坐标为(0,0)或(2m,0).

   当点A的坐标为(0,0)时,将点A的坐标代入y=x³-3mx²-4n³得n=0,

   与mn≠0矛盾， 所以, x=0舍去.

   由已知,m≠0.

当m<0时,函数在(-∞,2m),(0,+∞)内单调递增；在(2m,0)单调递减 .

   当m>0时,函数在(-∞,0),(2m,+∞)内单调递增；在(0,2m)内单调递减.

       (2)证明:由(1)可知,点A(2m,0)在函数的图象上,

        ∴0=(2m)³-3m?(2m)-4n³,

        ∴m³=-n³,

        ∴m+n=0.

        (3)由(2)可得, f(x)=x³-3mx²+4m³,  ∴f(-1)=-1-3m+4m³,

        由(1)可知,当m<0时,在(0,1]内,函数f(x)单调递增,点(0,4m³)为函数的极小值点, 

当x∈[-1,1]时,总有f(x)>-1当且仅当

          

         解得,   -<m<0.