Question

如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB＝90°，PB＝BC＝CA，D是PC的中点．

(Ⅰ)求证AC⊥平面PBC；

(Ⅱ)求异面直线PA与BD所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角B－PA－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一 　　(1)由⊥底面，得⊥，又，即⊥， 　　∴⊥平面　　4分 　　(2)不妨设，由(1)知⊥平面，所以⊥，又，∴⊥平面，故 　　即与成　(文科)12分　(理科)6分 　　或取的中点，连接，易知∥，故就是异面直线与所成角或其补角． 　　在中，； 　　在中， 　　在中，， 　　 　　在中，，∴， 　　故异面直线与所成角的大小为　(文科)12分　(理科)6分 　　(3)过作⊥于，连接，由(2)⊥，⊥， 　　可得⊥平面，所以⊥，故就是二面角的平面角． 　　在中， 　　在中，，∴， 　　故二面角的大小为　　(理科)12分 　　解法二 　　过点作∥，如图建立直角坐标系，设，则，，，，∴，，，，，　　4分 　　(1)∵，得⊥，即⊥ 　　同理，⊥，又　∴⊥平面　　6分 　　(2)∵∴异面直线与所成角等于　(文科)12分　(理科)6分 　　(3)在平面中，，，设平面的法向量　则，于是，取，得 　　在平面中，，，设平面的法向量则，于是，取，得 　　∵　　∴， 　　故二面角的大小为　　(理科)12分