Question

【题目】设抛物线的焦点为F，已知直线与抛物线C交于A，B两点(A，B两点分别在轴的上、下方)．

(1)求证：；

(2)已知弦长，试求：过A，B两点，且与直线相切的圆D的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或

【解析】

(1) 由与得，解得 ，又 ，从而得到结果；(2) 由弦长及抛物线定义可得m=1.圆心D在线段AB的中垂线上，求出中垂线方程，设出所求圆的圆心坐标为，借助点到线的距离公式可得圆D的方程．

（1）由与消去x，得，

设，

则为方程的两个不同的根，

所以，

因为A，F，B三点共线，所以

（2）因为AB=8，

所以.

所以，

所以m=1.

线段AB的中点坐标为（3m，2m），即（3，2），

所以线段AB的中垂线方程为，

因为所求的圆过A，B点，所以圆心D在直线上，

设所求圆的圆心坐标为，

不难算得两条平行线与

之间的距离，

即D到直线的距离，

由D到直线的距离得.

设圆D的半径为R，

则，

因为过点A与点B的圆与直线相切，所以，

所以，

解得，或，

所以所求圆的方程为或.