Question

设函数f（x）=cos²x+2msinx-2m-2，
（1）求函数的最大值；
（2）若f（x）＜0对x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元将三角函数转化为二次函数，根据二次函数的对称轴与区间的关系进行分类讨论求出二次函数的最大值即三角函数的最大值
（2）将不等式恒成立转化为f（x）_max＜0，将（1）中求出的最大值代入解不等式求出m的范围．

解答：解：（1）f（x）=cos²x+2msinx-2m-2
=1-sin²x+2msinx-2m-2
令sinx=t，t∈[-1，1]则
y=-t²+2mt-2m-1，t∈[-1，1]
对称轴为t=m
①当m≤-1时，当t=-1时，y有最大值-1-2m-2m-1=-4m-2
②当-1＜m＜1时，当t=m时函数有最大值m²-2m-1
③m≥1时，当t=1是函数有最大值-2
总之函数的最大值f(x)max=

-4m-2 m≤-1 m2-2m-1  -1＜m＜1 -2  m≥1

（2）f（x）＜0对x∈R恒成立，只需
f（x）_max＜0
∴

-4m-2＜0 m≤-1

或

m2-2m-1＜0 -1＜m＜1

或

-2＜0 m≥1

解得m＞1-

2

故m的取值范围m＞1-

2

点评：本题考查通过换元将三角函数的问题转化为二次函数的问题、求二次函数的最值关键弄清对称轴与区间的关系、解决不等式恒成立问题常转化为最值问题．