题目内容
7．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过极坐标系内的两点A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标系中的普通方程；
（2）若P是曲线C上任意一点，求△ABP面积的最小值．
分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．由极坐标A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$），可得直角坐标：A（2，2），B（0，3），利用点斜式即可得出方程．
（2）由题意可设$P（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则点P到直线AB的距离d=$\frac{{|{4sin（θ+\frac{π}{6}）-6}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，即可得出△ABP面积最小值．
解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
利用平方关系可得：曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
由极坐标A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$），
可得直角坐标：A（2，2），B（0，3）．
∴直线的方程为：$y=\frac{2-3}{2-0}$x+3，化为x+2y-6=0．
（2）由题意可设$P（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，则
点P到直线AB的距离$d=\frac{{|{2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-6}|}}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{|{4sin（θ+\frac{π}{6}）-6}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
当$sin（θ+\frac{π}{6}）=1$时取得最小值，
∵$|{AB}|=\sqrt{5}$，
∴△ABP面积的最小值为$\frac{1}{2}×\sqrt{5}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=1．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
全优点练单元计划系列答案| A． | arctan（-6） | B． | arctan（-$\frac{1}{6}$） | C． | π-arctan6 | D． | π-arctan$\frac{1}{6}$ |
| A． | （-7，3） | B． | （-5，2） | C． | （2，+∞） | D． | （-∞，3） |