Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在[-1，2]区间上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-x-2（2分）
由f'（x）＞0得x＜-

2

3

或x＞1，（4分）
故函数的单调递增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞）；（5分）
由f'（x）＜0得-

2

3

＜x＜1（6分）
故函数的单调递减区间为（-

2

3

，1）（7分）
（2）由（1）知f(-

2

3

)=

157

27

是函数的极大值，f（1）=3.5是函数的极小值；（10分）
而区间[-1，2]端点的函数值f(-1)=

11

2

，f(2)=7（12分）
故在区间[-1，2]上函数的最大值为7，最小值为3.5（14分）

点评：（1）利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定 的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
（2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小