题目内容

已知数列{an}满足a 1=
2
5
，且对任意n∈N*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Tn＜
4
15
．
证明：（1）∵
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

∴2an-2an+1=3anan+1
两边同时除以anan+1可得，
1
an+1
-
1
an
=
3
2

∴数列列{
1
an
}是以
1
a1
=
5
2
为首项，以
3
2
为公差的等差数列，
∴
1
an
=
5
2
+
3
2
(n-1)=
3n+2
2

∴an=
2
3n+2

（2）bn=an•an+1=
2
3n+2
•
2
3n+5
=
4
3
(
1
3n+2
-
1
3n+5
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
4
3
(
1
5
-
1
3n+5
)＜
4
15
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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