题目内容

已知函数f(x)=
4x
4x+2

（1）试求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
分析：（1）由f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x
4x+2
+
4
4+2•4x
=1，能得到f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1．由此规律求值即可

（2）由an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），知an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f（
1
n
）+f（0）（n∈N*），由倒序相加法能得到an=
n+1
2
．
（3）由bn=2n+1•an，知bn=(n+1)•2n，由Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，利用错位相减法能求出Sn=n•2n+1，要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，由此能够证明当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立．
解答：（本小题满分16分）
解：（1）∵f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x
4x+2
+
4
4+2•4x
=1
∴f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1．（5分）
（2）∵an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），①
∴an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f（
1
n
）+f（0）（n∈N*），②
由（1），知 f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1，
∴①+②，得2an=n+1，
∴an=
n+1
2
．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即Sn=n•2n+1，（12分）
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn2-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=
1
k
＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
∴不等式knSn＞bn恒成立，
即当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立 …（16分）
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函数f（x）的图象经过点（3，
1
8
），则a=
 
；若函数f（x）满足对任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么实数a的取值范围是
 
．
已知函数f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，则它是（　　）
A、奇函数B、偶函数
C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
已知函数f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．
已知函数f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，则M、N一定满足（　　）
已知函数f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）画出函数f（x）图象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．

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