题目内容

证明函数f（x）=x2ex-1-
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x3-x2在区间（-∞，-2）内是减函数．
分析：欲证函数在区间（-∞，-2）内是减函数，只需证明函数f（x）=x2ex-1-
1
3
x3-x2在区间（-∞，-2）内的导数恒小于0即可．所以先求函数的导数，把导数因式分解，再判断每个因式的正负，进而判断导数的正负，就可证明．
解答：解：∵f（x）=x2ex-1-
1
3
 x3-x2
∴f'（x）=（x2）′ex-1+x2（ex-1）′-（
1
3
x3）′-（x2）′=2xex-1+x2ex-1-x2-2x
=x2（ex-1-1）+2x（ex-1-1）=（ex-1-1）（x2+2x）
∵x∈（-∞，-2），∴x2+2x＞0，
又∵x∈（-∞，-2），∴x-1＜-3．
∴ex-1＜e-3，∴ex-1-1＜e-3-1＜0，
∴（ex-1-1）（x2+2x）＜0
即当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-2）内是减函数．
点评：本题主要考查了导数与函数的单调区间的关系，欲证函数在某区间内为减函数，只需证明函数的导数在这个区间内恒小于0即可．
练习册系列答案
相关题目
探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
 
上递增；
（2）函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)，当x=
 
时，y最小=
 
；
（3）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若f(x)=
x
2
-
1
x
，g(x)=lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(
1
m
，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-
1
2
x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．
设g（x）=2x+
1
x
，x∈[
1
4
，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（
2
2
）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，则f1（x）=-1，x∈[-
π
2
，
π
2
]，f2（x）=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，设φ（x）=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．
观察下列表格，探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性质，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=x+
4
x
在区间（0，2）递减．
（3）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
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（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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