题目内容
18．
已知P是圆C：（x+1）2+y2=16．上任意一点，A（1，0），线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q．（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知直线y=kx+m与点Q的轨迹方程相交于M，N两点，且满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求证：$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$定值．
分析 （1）根据线段中垂线的性质可得|QA|=|QP|，又|QC|+|QP|=4（半径），|QC|+|QA|=4＞|AC|=2根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程；
（2）将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，利用$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，可得7m2=12（k2+1）．即可证明结论．
解答 解：（1）由圆的方程可知，圆心C（-1，0），半径等于4，设点Q的坐标为（x，y ），
∵线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q，
∴|QA|=|QP|．
又|QC|+|QP|=4（半径），
∴|QC|+|QA|=4＞|AC|=2．
∴点Q满足椭圆的定义，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
可得7m2=12（k2+1）．
设点O到直线MN的距离为h，则h=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
在△OMN中，由等面积法知|MN|h=|OM||ON|
所以，$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$=$\frac{|MN{|}^{2}}{|OM{|}^{2}|ON{|}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{7}{12}$．
点评 本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是（ ）| A． | 50 | B． | 47 | C． | 48 | D． | 52 |
| A． | $\overrightarrow{b}$=（1，0，0），$\overrightarrow{n}$=（-2，0，0） | B． | $\overrightarrow{b}$=（1，3，5），$\overrightarrow{n}$=（1，0，1） | ||
| C． | $\overrightarrow{b}$=（0，2，1），$\overrightarrow{n}$=（-1，0，-1） | D． | $\overrightarrow{b}$=（1，-1，3），$\overrightarrow{n}$=（0，3，1） |