题目内容

在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知内角C为钝角，且2sin²A-cos2A-2=0，
（1）求角A的大小；
（2）试比较b+c与 $数学公式$ 的大小．

解：（1）由2sin²A-cos2A-2=0，得cos2A=- $\text{[math]}$ ，
又0＜A＜ $\text{[math]}$ ，则2A= $\text{[math]}$ ，故A= $\text{[math]}$
（2）由（1）及已知得B+C= $\text{[math]}$ ，又C∈（ $\text{[math]}$ ，π），可得0＜B＜ $\text{[math]}$
设△ABC的外接圆半径为R，则b+c- $\text{[math]}$ =2R（sinB+sinC- $\text{[math]}$ ）
=2R[sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）- $\text{[math]}$ ]
=2R（sinB+sin $\text{[math]}$ cosB-cos $\text{[math]}$ sinB- $\text{[math]}$ ）
=2R（ $\text{[math]}$ sinB+ $\text{[math]}$ cosB- $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ R[sin（B+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]，
∵0＜B＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（B+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ，
∴b+c＜ $\text{[math]}$ a
分析：（1）利用二倍角公式对原式化简整理求得cos2A的值，进而根据A的范围求得A的值．
（2）根据（1）中A的值，进而可推断出B的范围，△ABC的外接圆半径为R，进而利用正弦定理把b+c- $\text{[math]}$ 转化成角的正弦，然后利用两角和公式展开后化简整理，进而根据B的范围确定b+c- $\text{[math]}$ ＜0，进而推断出b+c与 $\text{[math]}$ 的大小．
点评：本题主要考查了二倍角公式的化简求值，正弦定理的应用和正弦函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．