Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a1=1，an+1=

n+1

2n

an，且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a

2 n

，n∈N*．
（1）证明：

2

an+2

＜

an

bn

＜1；
（2）记{a_n²}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，证明：2B_n-A_n＜8．

Answer 1

分析：（1）可先证明

an

bn

＜1，由题意易知a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*），故只要证b_n-a_n＞0即可，
结合题目条件可利用构造函数证明．

2

an+2

＜

an

bn

?ln(1+an)-an＜0，也可构造函数证明．
（2）由条件可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，可求出a_n用错位相减法求出A_n，再结合（1）中的关系比较大小即可．

解答：解：（1）由a1＞0，an+1=

n+1

2n

an知，a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*）．bn-an=ln(1+an)+

1

2

a

2 n

-an，（2分）
设函数f(x)=ln(1+x)+

1

2

x2-x(x≥0)，则当x＞0时，f′(x)=

1

1+x

+x-1=

x2

x+1

＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，即b_n-a_n＞0，∴

an

bn

＜1
∵

2

an+2

＜

an

bn

?ln(1+an)-an＜0．
设函数g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则当x＞0时，g′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

＜0，
∴g（x）在[0，+∞）上是减函数，故g（x）＜g（0）=0，
∴ln（1+a_n）-a_n＜0
综上得：

2

an+2

＜

an

bn

＜1
（2）由an+1=

n+1

2n

an得：

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴an=n•(

1

2

)n-1=

n

2n-1

，
∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（1）的结论有ln（1+a_n）＜a_n，
∴2b_n-a_n²＜2a_n，
∴2Bn-An＜2(a1+a2++an)=2(

1

20

+

2

21

++

n

2n-1

)．
令S_n=

1

20

+

2

21

++

n

2n-1

，则

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

n

2n

，相减得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+1

2n-1

，
∴Sn=4-

n+1

2n-2

，（13分）
∴2Bn-An＜2(4-

n+1

2n-2

)＜8

点评：本题考查函数单调性的应用：利用函数单调性证明数列不等式，构造函数需要较强的观察能力，难度较大，综合性强．