Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和 为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析：（1）将b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的递推关系式，整理变形可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由等差数列的定义可得 {

1

bn

}为等差数列，故可求其通项公式，进而求出b_n．
（2）结合（1）中的结论，写出T_n+1-T_n的表达式，利用放缩法证明该差大于0即可．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
从而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．（5分）
（2）∵Sn=1+

1

2

++

1

n

，∴Tn=S2n-Sn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

，Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
（∵2n+1＜2n+2）∴T_n+1＞T_n．（12分）

点评：本题考查了数列和不等式的综合应用，应用了构造法、放缩法、叠加法等数学思想方法，难度较大．
若根据2a_n=1+a_na_n+1去求a_n 的通项，继而求b_n，则难度很大．而应用了代入构造，避免了繁琐的中间计算过程．