Question

(12分)已知函数f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝＋6x的图象关于y轴对称．
(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；（6分）
(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．（6分）

Answer 1

(1) f(x)的单调递减区间是(0,2)．
(2)当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；
当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；
当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．

（Ⅰ）利用条件的到两个关于m、n的方程，求出m、n的值，再找函数y=f（x）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a-1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．
(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…
由f(x)＝x³＋mx²＋nx－2，得＝3x²＋2mx＋n，………………2分
则g(x)＝＋6x＝3x²＋(2m＋6)x＋n.
而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得 m＝－3.
代入①得n＝0.
于是＝3x²－6x＝3x(x－2)．………………………4分
由>0得x>2或x<0，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分
由<0，得0<x<2，
故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………………………6分
(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分
当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
	＋	0	－	0	＋
f(x)	增函数?	极大值	减函数	极小值	增函数?

…………………………………9分
由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；
当a＝1时，f(x)在 (a－1，a＋1)内无极值；
当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；
当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；
当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………12分