Question

(华南师大附中模拟)设函数y=f(x)是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数x、y，都有f(xy)=f(x)＋f(y)；

②当x＞1时，f(x)＜0；

③f(3)=－1．

(1)求f(1)、的值；

(2)如果不等式f(x)＋f(2－x)＜2成立，求x的取值范围；

(3)如果存在正数k，使不等式f(kx)＋f(2－x)＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)令x=y=1易得f(1)=0． 而f(9)=f(3)＋f(3)=－1－1=－2， 且， 得． (2)由条件①及(1)结果得：，其中0＜x＜2， 由函数f(x)在R上的递减性，可得： 由此解得x的范围是． (3)同上理，不等式f(kx)＋f(2－x)＜2可化为且0＜x＜2，可得，此不等式有解等价于，∵，故，即为所求范围．