Question

已知是定义在 上的奇函数，且，当,时，有成立.

（Ⅰ）判断在 上的单调性，并加以证明；

（Ⅱ）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

    解：（Ⅰ）任取x₁, x₂[－1, 1]，且x₁＜x₂，则－x₂[－1, 1]. 因为f(x)为奇函数.

            所以f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=·(x₁－x₂),

            由已知得＞0，x₁－x₂＜0，

            所以f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂).

            所以f(x)在[－1, 1]上单调递增.

        （Ⅱ）因为f(1)=1, f(x)在[－1, 1]上单调递增，

             所以在[－1, 1]上，f(x)≤1.

             问题转化为m²－2am+1≥1，

             即m²－2am≥0，对a[－1, 1]恒成立.

             下面来求m的取值范围.

             设g(a)=－2ma+m²≥0.

             ①若m=0，则g(a)=0，对a[－1, 1]恒成立。

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，

若g(a)≥0，对a[－1, 1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，

所以m≤－2或m≥2.

所以m的取值范围是m=0或|m|≥2.