Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

a 2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＞

n

n+1

．

Answer 1

（1）由已知：对于n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1，∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）由（1）可知bn=

1

n2

∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn＞(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1