Question

求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

Answer 1

a的最小值是

解法一:由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得:
x+y+2≤a²(x+y)，即2≤(a²－1)(x+y)，                 ①
∴x，y＞0，∴x+y≥2，                                    ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立.
比较①、②得a的最小值满足a²－1=1，
∴a²=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.
解法二: 设.
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，
∴≤1，的最大值是1.
从而可知，u的最大值为，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为.
解法三: ∵y＞0，
∴原不等式可化为+1≤a，
设=tanθ，θ∈(0，).
∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，                      ③
又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=).
由③式可知a的最小值为.