Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面积为 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C1B⊥面ABC，C1B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C1A．
（2）设 ，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC1A1的夹角为 ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵面积为 的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，AC=BC=3，AB=3 ，

∵C1B⊥面ABC，

∴以B为原点，BC为x轴，在平面ABC中过B作AC的平行线为y轴，

BC1为z轴，建立 空间直角坐标系，

∵C1B=3，∴C（3，0，0），B（0，0，0），A（3，﹣3，0），S（ ,- ，0），C1（0，0，3），

∴ =（﹣ ，﹣ ，0）， =（3，﹣3，﹣3），

∴ =﹣ =0，

∴CS⊥C1A．

（2）解：∵ ，∴ = ，

=（0，3，0）， =（﹣3，3，3），

设平面ACC1A1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0，1），

∵直线TB与平面ACC1A1的夹角为 ，

∴sin =|cos＜ ＞|= = = ，

解得λ= ，不舍题意，

故不存在实数λ，使得直线TB与平面ACC1A1的夹角为 ．

【解析】（1）推导出AC⊥BC，以B为原点，BC为x轴，在平面ABC中过B作AC的平行线为y轴，BC1为z轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能证明CS⊥C1A．（2）求出 = ，平面ACC1A1的法向量 =（1，0，1），利用向量法推导出不存在实数λ，使得直线TB与平面ACC1A1的夹角为 ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解棱柱的结构特征(两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．