Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+∞），f′（x）= +2ax+1，

依题意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．

此时，f′（x）= ，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0

（2）解：因为f′（x）= ，

（ⅰ）当a≥0时，因为x∈（0，+∞），所以f′（x）= ＞0，此时函数f（x）在（0+∞）是增函数．

（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+x=1=0．因为△=1﹣8a＞0，

此时，f′（x）= = ，

其中，x1=﹣ ，x2=﹣ ．

因为a＜0，所以 x2＞0，又因为 x1x2= ＜0，所以x1＜0．

∴当0＜x1＜x2时，f′（x）＞0，当x1＞x2时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+∞）上是减函数．

综上可知，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，﹣ ），单调递减区间是（﹣ ，+∞）

【解析】（1）由条件求得f′（x），再根据有f′（1）=0，求得a的值．（2）由条件求得f′（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．