题目内容

已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立．又?x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则
a2+b2
a-b
的最小值为（　　）
分析：由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为
a4+1
a3-a
．化简(
a4+1
a3-a
)2为
(a2+
1
a2
 -2)2+4(a2+
1
a2
)-4
(a2+
1
a2
)-2
，令 a2+
1
a2
=t＞2，则(
a4+1
a3-a
)2=（t-2）+4+
4
t-2
，利用基本不等式求得(
a4+1
a3-a
)2的最小值为8，可得
a4+1
a3-a
的最小值．
解答：解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．
∴
a2+b2
a-b
=
a2+
1
a2
a-
1
a
=
a4+1
a3-a
＞0．
∴(
a4+1
a3-a
)2=
a8+1+2a4
a6+a2-2a4
=
a4+
1
a4
+2
a2+
1
a2
-2
=
(a2+
1
a2
)2
(a2+
1
a2
)-2
=
(a2+
1
a2
 -2)2+4(a2+
1
a2
)-4
(a2+
1
a2
)-2
．
令 a2+
1
a2
=t＞2，则 (
a4+1
a3-a
)2=
(t-2)2+4(t-2)+4
t-2
=（t-2）+4+
4
t-2
≥4+4=8，
故(
a4+1
a3-a
)2的最小值为8，故
a2+b2
a-b
 的最小值为
8
=2
2
，
故选D．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题．
练习册系列答案
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已知a>b，二次三项式ax2 +2x +b≥0对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为（   ）

A．1                B．             C．2                D．2

 
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c及一次函数g（x）=-bx。
（1）若a＞b＞c，a+b+c=0，设f（x）与g（x）两图像交于A，B两点，当线段AB在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围；
（2）对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式f（x），使f（x）=0有两个小于1的不等正根，求a的最小值。
已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立．又?x∈R，使+2x+b=0成立，则的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．2

．已知a>b，二次三项式对于一切实数x恒成立．又，使成立，则的最小值为                                                         （    ）

    A．1                B．             C．2                D．2

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