题目内容
四个半径均为1的球两两相切,都在一个大球里,且都与大球相切,试求这个大球的体积.
思路解析:由四个半径都是1的球两两外切,其球心构成边长为2的正四面体.这四个球又都与大球相切,
所以这个大球与正四面体的外接球是同心球,大球半径R等于正四面体外接球的半径r加上小球半径1,R=r+1.这样问题转化为已知棱长为2的正四面体,求其外接圆半径r.
解:四个小球的球心构成棱长为2的正四面体,
将其补成正方体,∴正方体的对角线为其外接球的直径2r.
∵正四面体棱长为2,∴正方体棱长为
.
∴(2r)2=(
)2+(
)2+(
)2.
∴
∴与四个小球都相切的大球半径R=r+1=1+
.
∴这个大球的体积V=
≈46.12(立方单位).
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