题目内容

已知a₁=1， $数学公式$
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|≤ $数学公式$ ．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（3分）
（2）当n为奇数时，a_n＜2；当n为偶数时，a_n＞2（5分）
因为 $\text{[math]}$ ，（6分）
注意到a_n＞0，所以a_n-2与a_n-1-2异号
由于a₁=1＜2，所以a₂＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N^*）时，a_n＜2；
当n=2k（k∈N^*）时，x_n＞2（8分）
（3）由于a_n＞0， $\text{[math]}$ ，
∴a_n≥1（n=1，2，3，…）（9分）
又 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （10分）
∴|a_n-2|≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤…≤ $\text{[math]}$ （12分）
|∴a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）利用a₁=1， $\text{[math]}$ ，可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）将a_n与2作差，变形即可判断a_n与2的大小关系；
（3）利用a_n＞0， $\text{[math]}$ 得：a_n≥1， $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，|a_n-2|≤ $\text{[math]}$ ，以此类推可 $\text{[math]}$ 逐项代入左端，即可．
点评：本题考查递推数列，关键是放缩法的运用，考查学生观察与推理的能力，属于难题．