Question

巳知a＞0，设命题p：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同 的交点；命题q：g（x）=|x-a|-ax在区间（0，+∞）上有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由抛物线的特点可知p成立需，解之可得a的范围，同理g（x）=，要满足题意需0＜a≤1，再由（￢p）∧q是真命题，可得p是假命题且q是真命题，进而可得，化简可得答案．
解答：解：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点，
必须，即，解得．
所以当时，函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；
由题意可得g（x）=|x-a|-ax=，因为a＞0，所以-（1+a）＜0，
所以函数y₁=-（1+a）x+a是单调递减的，要g（x）使在区间（0，+∞）上有最小值，
必须使y₂=（1-a）x-a在[a，+∞）上单调递增或为常数，即1-a≥0，解得a≤1，
所以当0＜a≤1时，函数g（x）使在区间（0，+∞）上有最小值．
若（￢p）∧q是真命题，则p是假命题且q是真命题，
所以，解得，或，
故实数a的取值范围为：（0，]∪（，1]
点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的值域和函数的零点，属基础题．