Question

（2013•广州二模）巳知a＞0，设命题p：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同 的交点；命题q：g（x）=|x-a|-ax在区间（0，+∞）上有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由抛物线的特点可知p成立需

f(0)≥0 f(1)≥0 0＜a＜1 △＞0

，解之可得a的范围，同理g（x）=

(1-a)x-a，    x≥a -(1+a)x+a，    x＜a

，要满足题意需0＜a≤1，再由（￢p）∧q是真命题，可得p是假命题且q是真命题，进而可得

0＜a≤ 2 -1，或a＞ 1 2 0＜a≤1

，化简可得答案．

解答：解：函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点，
必须

f(0)≥0 f(1)≥0 0＜a＜1 △＞0

，即

1-2a≥0 2-4a≥0 0＜a＜1 (-2a)2-4(1-2a)＞0

，解得

2

-1＜a≤

1

2

．
所以当

2

-1＜a≤

1

2

时，函数f（x）=x²-2ax+1-2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；
由题意可得g（x）=|x-a|-ax=

(1-a)x-a，    x≥a -(1+a)x+a，    x＜a

，因为a＞0，所以-（1+a）＜0，
所以函数y₁=-（1+a）x+a是单调递减的，要g（x）使在区间（0，+∞）上有最小值，
必须使y₂=（1-a）x-a在[a，+∞）上单调递增或为常数，即1-a≥0，解得a≤1，
所以当0＜a≤1时，函数g（x）使在区间（0，+∞）上有最小值．
若（￢p）∧q是真命题，则p是假命题且q是真命题，
所以

0＜a≤ 2 -1，或a＞ 1 2 0＜a≤1

，解得0＜a≤

2

-1，或

1

2

＜a≤1，
故实数a的取值范围为：（0，

2

-1]∪（

1

2

，1]

点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的值域和函数的零点，属基础题．