题目内容

已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为 $数学公式$ ，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为6，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若 $数学公式$ ，求直线l斜率k的取值范围．

解：（1）设椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ，
依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为 $\text{[math]}$ ，
所以a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
所以椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$
（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 $\text{[math]}$ 可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
=（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）直接利用离心率为 $\text{[math]}$ ，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；
（2）先设直线l的方程为y=k（x-1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入 $\text{[math]}$ ，整理后即可直线l斜率k的取值范围．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．

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