Question

13．在△ABC中，2B=A+C．
（1）当AC=12时，求S_△ABC的最大值；
（2）当S_△ABC=4$\sqrt{3}$时，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，B=60°，b=12，由余弦定理、基本不等式，即可求S_△ABC的最大值；
（2）当S_△ABC=4$\sqrt{3}$时，求出ac，利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周长的最小值．

解答 解：（1）由题意，B=60°，b=12，
∴由余弦定理可得12²=a²+c²-2accos60°≥ac，
∴ac≤144，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$≤36$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC的最大值为36$\sqrt{3}$；
（2）S_△ABC=4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴ac=16，
又b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-48，b²=a²+c²-2accos60°≥ac
∴a+c=$\sqrt{{b}^{2}+48}$，b≥4
∴△ABC周长为a+c+b≥8+4=12
当且仅当a=b=c时，△ABC周长的最小值为12．

点评 本题考查余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．