Question

6．使得方程x²+ax+8a=0只有整数解的实数a的个数有多少？请具体说明．

Answer 1

分析 设方程x²+ax+8a=0两根为x₁，x₂，由韦达定理可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=8a，进而得到（x₁+8）（x₂+8）=64，若x₁，x₂均为整数，则（x₁+8），（x₂+8）为64的约数，进而得到答案．

解答 解：设方程x²+ax+8a=0两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=8a，
则x₁•x₂=-8（x₁+x₂），
则x₁•x₂+8（x₁+x₂）=0，
则（x₁+8）（x₂+8）=64，
若x₁，x₂均为整数，
则（x₁+8），（x₂+8）为64的约数，
由于64的约数有±1，±2，±4，±8，±16，±32，±64共14个，
故满足条件的x₁，x₂有14组，
则满足条件实数a的个数为14个

点评 本题考查的知识点是二次方程根与系数的关系，本题转化比较困难，属于中档题．