Question

【题目】设椭圆 的离心率 ，椭圆上一点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆交于A，B两点，且AB中点为 ，求直线l方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由点A到椭圆C两焦点的距离之和为4，

由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，

又e= = ，可得c= ，

b= = ，

即有椭圆C的方程为 =1

（2）解：中点M代入椭圆方程，可得 + ＜1，

即M在椭圆内，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x12+2y12=4，x22+2y22=4，

两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

由中点坐标公式可得x1+x2=﹣2，y1+y2=1，

可得直线AB的斜率为k= =﹣ =﹣ =1，

即有直线l的方程为y﹣ =x+1，

即为2x﹣2y+3=0．

【解析】（1）由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；（2）判断中点M在椭圆内，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入椭圆方程，运用作差法和中点坐标公式及斜率公式可得直线l的斜率，再由点斜式方程可得直线的方程．