Question

【题目】如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，

根据正弦定理，在△ABD中， = ，

在△ADC中， = ，

∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，

∴ = ， = ，

∴

（2）解：根据余弦定理，cos∠BAC= ，

即cos120°= ，

解得BC= ，

又 ，

∴ = ，

解得CD= ，BD= ；

设AD=x，则在△ABD与△ADC中，

根据余弦定理得，

cos60°= ，

且cos60°= ，

解得x= ，即AD的长为

【解析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．