Question

（2012•湛江一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一焦点为F₁（-1，0），长轴长为2

2

，过原点的直线y=kx（k＞0）与C相交于A、B两点（B在第一象限），BH垂直x轴，垂足为H．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当k变化时，求△ABH面积的最大值；
（3）过B作直线l垂直于AB，已知l与直线AH交于点M，判断点M是否在椭圆C上，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用已知焦点为F₁（-1，0），长轴长为2

2

，即可得到c=1，2a=2

2

，及b²=a²-c²即可得出；
（2）由对称性可设A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），联立

y=kx x2 2 +y2=1

即可得出点B的坐标，再利用S_△ABH=2S_△BOH=x₀y₀及基本不等式即可得出；
（3）点M在椭圆上．利用直线垂直于斜率的关系可得k_AB•k_l+1=0，进而得出直线AH的斜率与l的斜率关系，再利用三点AHM共线斜率相等及点B在椭圆上满足椭圆的方程即可得出点M的坐标也满足椭圆的方程即可．

解答：解：（1）依题意c=1，a=

2

，b2=a2-c2=1，
即C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由对称性可设A（-x₀，-y₀），B（x₀，y₀），由

y=kx x2 2 +y2=1

得x02=

2

1+2k2

，y02=

2k2

1+2k2

则S△ABH=2S△BOH=x0•y0=

2k

1+2k2

=

2

1 k +2k

≤

2

2 1 k •2k

=

2

2

（当且仅当k=

2

2

时取等号），即△ABH面积的最大值是

2

2

．
（3）点M在椭圆C上，以下证明：
设M（x₁，y₁），由H（x₀，0），则AH的斜率k1=

y0

2x0

=

k

2

显然BM有斜率k2=

y1-y0

x1-x0

∵l⊥AB，k₂k+1=0即2k₁k₂+1=0…①
又2k1k2+1=2

y1-y0

x1-x0

•

y1-(-y0)

x1-(-x0)

+1=

(x12+2y12)-(x02+2y02)

x12-x02

…②
由①②得x12+2y12=x02+2y02．
∵B（x₀，y₀）在椭圆

x2

2

+y2=1上
∴x02+2y02=2，代入上式得x12+2y12=2，即

x12

2

+y12=1
∴点M在椭圆C上．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、点在椭圆上与点的坐标与椭圆的方程得关系、直线的斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．