Question

14．当0＜a＜2时，直线l₁：ax-2y=2a-4，直线${l_2}：2x+{a^2}y=2{a^2}+4$与坐标轴围成的一个四边形，求该四边形面积的最小值以及取得最小值时的a的值．

Answer 1

分析 如图所示，联立$\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，解得y_E=2．根据S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，与坐标轴的交点A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x+a²y=2a²+4，与坐标轴的交点C（a²+2，0），D（0，2+$\frac{4}{{a}^{2}}$）．
联立 $\left\{\begin{array}{l}{ax-2y=2a-4}\\{2x+{a}^{2}y=2{a}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得y_E=2．
∴S_{四边形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}$|BC|•y_E-$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|
=a²+$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{2}$×（2-a）×（$\frac{4}{a}$-2）
=a²-a+4
=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$≥$\frac{15}{4}$，当a=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴l₁，l₂与坐标轴围成的四边形面积的最小值为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．