Question

在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为．求证：直线必过定点．

Answer 1

（Ⅰ）动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．  
（Ⅱ）见解析

(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分
∴是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴．…………4分
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．    ……….7分
(Ⅱ) 设，，直线AB的方程为…………….8分
　　　　　　　　　则
（1）—（2）得，即，……………………………………9分
代入方程，解得．
所以点Ｍ的坐标为．……………………………………10分
同理可得：的坐标为．
直线的斜率为，方程为
，整理得，………………12分
显然，不论为何值，均满足方程，
所以直线恒过定点．………………14