Question

（2005•海淀区二模）已知数列{an}中，a1=

1

2

，Sn为数列的前n项和，且S_n与

1

an

的一个等比中项为n（n∈N），则

lim

n→∞

Sn的值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  2

  3

• D．1

Answer 1

分析：由题意可得

Sn

an

=n2即Sn=n2an①，则Sn-1=(n-1)2an-1②（n≥2），两式相减可得递推式，利用累乘法可求得a_n，用裂项相消法可求得S_n，然后取极限即可求得答案．

解答：解：因为S_n与

1

an

的一个等比中项为n，
所以

Sn

an

=n2即Sn=n2an①，则Sn-1=(n-1)2an-1②（n≥2），
①-②得，an=n2an-(n-1)2an-1，
整理得，

an

an-1

=

n-1

n+1

（n≥2），
所以an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n≥2），
当n=1时a1=

1

2

适合上式，
所以an=

1

n

-

1

n+1

，
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1，
故选D．

点评：本题考查等比数列的中项性质、累乘法求数列通项及裂项相消法对数列求和，综合性较强，熟练相关问题的基本方法是解决问题的根本．