Question

（本小题满分12分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：DC平面ABC；

（Ⅱ）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在图甲中∵且 ∴ ,

即

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC．

（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，

∴

在图甲中，∵,  ∴,

由得 ,

∴    ∴

∴.