题目内容

将数列{a_n}中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…，构成数列{b_n}．
（Ⅰ）设b₈=a_m，求m的值；
（Ⅱ）若b₁=1，对于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0．求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{b_n}，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列，且a₆₆=

，求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）．

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件可以知道，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43．
（Ⅱ）根据题意知

，因此

，

，…，

，将各式相乘得

．
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）．
解答：解：（Ⅰ）由题意，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43，（4分）
（Ⅱ）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令

得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以

（8分）
因此

，

，…，

将各式相乘得

（10分）
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．
因为3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，
故a₆₆在表中第10行第三列，（14分）
因此

．又

，所以q=2．则

．k∈N^*（16分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

=1(n≥2)．
（1）求证数列{

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-

时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表．记表中第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足2b_n=b_nS_n-S_n²（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证数列 $数学公式$ 成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当 $数学公式$ 时，公比q的值．

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令

（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．