Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax一1（a∈R）．
（I）讨论函数y=f（x）的单调性并求其单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-x1nx在定义域内存在零点，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若g（x）=1n（e^x-1）-lnx，且f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求导数，分类讨论，利用当时的正负确定函数y=f（x）的单调性并求其单调区间；
（Ⅱ）e^x-ax一1-xlnx=0在（0，+∞）上有根，即a=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有根，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明x＞0时，0＜g（x）＜x，得出g（x）与x不能同时处于f（x）的单调递减区间内，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）∵f（x）=e^x-ax一1，∴f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立；
即f（x）的单调增区间为R；
当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，
x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-x1nx=e^x-ax一1-xlnx，
∵F（x）在定义域（0，+∞）内存在零点，
∴e^x-ax一1-xlnx=0在（0，+∞）上有根，
即a=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上有根；
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
故g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故g（x）≥g（1）=e-0-1=e-1；
故实数a的取值范围为[e-1，+∞）；
（Ⅲ）首先证明，x＞0时，g（x）=1n（e^x-1）-lnx=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜x，即e^x-1＜xe^x，
即x＞0时，h（x）=xe^x-e^x+1＞0恒成立．
∵h′（x）=xe^x＞0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，+∞）上，h（x）＞h（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＜x；
同理可以证明x＞0时，g（x）＞0，∴e^x-1-x＞0，
∴x＞0时，0＜g（x）＜x
∵①f[g（x）]＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，②x＞0时，0＜g（x）＜x
∴g（x）与x不能同时处于f（x）的单调递减区间内．
由（I）可知，a≤0，f（x）在R上单调递增，故不存在单调递减区间，符合要求．
当a＞0时，f′（x）草图如图所示，

∴为使得g（x）与x不同时处于f（x）的单调递减区间内，当且仅当lna≤0，
∴0＜a≤1，
∴当0＜g（x）＜x＜lna时，g（x）与x同时处于f（x）的单调递减区间内，
综上可知a≤1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度大．