圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos$.极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合.极轴与x轴的非负半轴重合.且长度单位相同.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$．(1)求C的直角坐标方程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标
（2）l与C交于A，B两点，求|AB|

分析（1）由两角和与差的余弦函数及ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出C的直角坐标方程和圆心的直角坐标，由此能求出圆心的极坐标．
（2）先求出直线l的直角坐标方程和圆心C（-1，-1）到直线l的距离d，由此利用勾股定理能求出|AB|．

解答解：（1）∵圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$
∴ρ=$2\sqrt{2}（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ）$=-2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=-2ρcosθ-2ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到C的直角坐标方程为x²+y²=-2x-2y，即（x+1）²+（y+1）²=2
∵圆心（-1，-1），
∴$ρ=\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，θ=$\frac{5π}{4}$，∴圆心的极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{5π}{4}）$
（2）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数得到直线l的直角坐标方程为x+y+1=0，
圆心C（-1，-1）到直线l的距离：d=$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，r=$\sqrt{2}$，l与C交于A，B两点，
∴$|{AB}|=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$．