Question

已知函数：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）求导，f′(x)=

1

x

-a，分a＞0，a＜0两种情况写出函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数g（x）求导得g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，根据g（x）在区间（a，3）上有最值，得到g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，从而得到g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

，另由对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分离参数即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

-a，（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为(0，

1

a

)，减区间为(

1

a

，+∞)；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（6分）
（Ⅱ）g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]=x3+(

m

2

+a)x2-x，∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，
又g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

（9分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴m＜

1-5a2

a

=

1

a

-5a，因为a∈[1，2]，所以∴m＜-

19

2

，
对任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-

32

3

∴-

32

3

＜m＜-

19

2

（12分）

点评：此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（II）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．