题目内容

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为

1

2

ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=

1

200

，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为

1

20

x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

分析：（1）由m=

1

200

，得f（x）=

1

2

ln（2x+1）-

x

200

，对f（x）求导，并令f^′（x）＞0，可解得x的值；即为所求．
（2）企业加工生产不出现亏损，即x∈[10，20]时，

1

2

ln（2x+1）-mx≥

1

20

x恒成立，通过变形，得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

，令g（x）=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]，对g（x）求导，得g^′（x）=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

；再令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），对h（x）求导，得h^′（x）＜0，从而得h（x）在[10，20]上单调递减，即h（20）≤h（x）≤h（10）＜0，所以x∈[10，20]时，g（x）单调递减，从而得g_min（x）=g（20），即m≤g（20）-

1

20

；即得美元的贬值指数m的范围．

解答：解：（1）由已知m=

1

200

，f（x）=

1

2

ln（2x+1）-

x

200

，（其中x＞0）；
∴f^′（x）=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

；
由f^′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有

1

2

ln（2x+1）-mx≥

1

20

x，即

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

，
令g（x）=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]，则
g^′（x）=

2

2x+1

•x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

；
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h^′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0，
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，g_min（x）=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

；
故当美元的贬值指数m∈(0，

ln41-2

40

]时，该企业加工生产不会亏损．

点评：本题考查了导数在求函数最值问题中的应用：当导数大于0时，函数在该区间内单调递增；导数小于0时，函数在该区间单调递增．

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（本小题满分14分）广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为万美元，可获得加工费近似为万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失万美元，其中为该时段美元的贬值指数，，从而实际所得的加工费为（万美元）.

（Ⅰ）若某时期美元贬值指数，为确保企业实际所得加工费随的增加而增加，该企业加工产品订单的金额应在什么范围内？

（Ⅱ）若该企业加工产品订单的金额为万美元时共需要的生产成本为万美元，已知该企业加工生产能力为（其中为产品订单的金额），试问美元的贬值指数在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为 $数学公式$ ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）= $数学公式$ ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m= $数学公式$ ，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为 $数学公式$ x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为

ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=

ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=

，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为

x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为

ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元?值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=

ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=

，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为

x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．