Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为， ．

① 求证： 为定值；

② 求△CEF的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①详见解析②

【解析】试题分析：

(1)由题意求得 的值，结合椭圆焦点位于 轴上写出标准方程即可；

(2)①中，分别求得 的值，然后求解其乘积即可证得结论；

②中，联立直线与椭圆的方程，利用面积公式得出三角形面积的解析式，最后利用均值不等式求得面积的最小值即可.

试题解析：

（Ⅰ）由题知，由，

所以．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）① 证法一：设，则，

因为点B，C关于原点对称，则，

所以．

证法二：直线AC的方程为，

由得，

解得，同理，

因为B，O，C三点共线，则由，

整理得，

所以．

②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，

令y＝2，得，

而，

所以，△CEF的面积

．

由得，

则 ，当且仅当取得等号，

所以△CEF的面积的最小值为．