题目内容
已知：函数f（x）=ln（x+a）+x2，当x=-1时，f（x）取得极值，求：实数a的值，并讨论f（x）的单调性．
【答案】分析：先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到答案．
解答：解：由题意可得：
，
因为当x=-1时，f（x）取得极值，
所以有f'（-1）=0，
解得：
，…（3分）
可得
，定义域为（
，+∞），…（4分）
所以
，…（5分）
所以当
时，f'（x）＞0；当 
时，f'（x）＜0；当 
时，f'（x）＞0．
所以可得下表：
…（10分）
从而得到f（x）分别在区间
单调递增，在区间 
单调递减．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值及单调性．
解答：解：由题意可得：
，因为当x=-1时，f（x）取得极值，
所以有f'（-1）=0，
解得：
，…（3分）可得
，定义域为（
，+∞），…（4分）所以
，…（5分）所以当
时，f'（x）＞0；当 
时，f'（x）＜0；当 
时，f'（x）＞0．所以可得下表：
| x |  | -1 |  |  |  |
| f'（x） | + | - | + | ||
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
从而得到f（x）分别在区间
单调递增，在区间 
单调递减．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值及单调性．
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