Question

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地，匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。

(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域。

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)y＝s（＋bv），v∈（0，c] (2)记k＝y＝ 故求此函数的最值可转化为求一定点A（0，－as）与动点B（v，bsv2）构成的直线的斜率的最值。 动点B在抛物线y＝bｓx2，x∈（0，c）上运动，其中点 B′（c，bsc2）。 如图所示： ①当动点B在抛物线弧0B′(不包括B′点)上时，过定点A且与抛物线弧相切的切线斜率即所求函数的最小值。 设直线AB的方程为：y＋aｓ＝kx 联立 消去y得bｓx2－kx＋as＝0(*) 由Δ＝k2－４abs2＝0得k＝2s或k＝－2s (舍去)，将k＝2s代入(*)式得x＝。换句话说，当速度v＝时，运输成本y的最小值为2s。 ②当点B在点B′时，kAB的值只有一个，显然就是所求函数的最小值。此时，kAB＝＋bc）。 也就是说，当v＝c时，运输成本y的最小值为s（＋bc）。