Question

平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A．n+1
B．2n
C．
D．n²+n+1

Answer 1

【答案】分析：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多，确定f（n）-f（n-1）=n，累加，即可求得f（n）的表达式．
解答：解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多
设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，
∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）-f（k）=k+1，
令k=1，2，3，…．n得 f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把这n-1个等式累加，得 f（n）-f（1）=2+3+…+n=
∴f（n）=2+=
故选C．
点评：本题考查合情推理，考查了分析问题和解决问题的能力，解题的关键是找出第k项和第k+1项之间的关系，再利用累加法求出f（n）的关系式．