Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，则两曲线交点间的距离是$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分别化为直角坐标方程，联立得出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$，消去参数t化为y²-x²=4．
曲线C₂的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，$\frac{1}{2}ρsinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$=1，∴$\sqrt{3}$x+y=2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=2}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴两曲线交点间的距离=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2+4）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线交点坐标、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．