Question

如图，已知正三棱柱的各棱长都为，为棱上的动点．

（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的大小；              
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到平面的距离．

Answer 1

，

解：（Ⅰ）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，
则，由于为的中点时，∵平面,∴平面,∴.

（Ⅱ）当时，过作于,如图所示，

则底面,过作于,连结，

则,
为二面角的平面角，

又,

又，,
即二面角的大小为.
(Ⅲ) 设到面的距离为，则,平面,
即为点到平面的距离，
又，
即
解得，即到平面的距离为.