题目内容

已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
a1
，
a2
，
a3
；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为
c1
，
c2
，
c3
，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)的最小值是______．

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不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量
a1
，
a2
，
a3
分别为
AB
，
AC
，
AD
，以C为起点，其余顶点为终点的向量
c1
，
c2
，
c3
分别为
CD
，
CA
，
CB
．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同样地，当i，j，k，l取其它值时，(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)=-5，-4，或-3．
则(
ai
+
aj
)•(
ck
+
cl
)的最小值是-5．
故答案为：-5．
练习册系列答案
相关题目
已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四边形PACE是直角梯形，设PA⊥平面ABCD，且PA=2，CE=1，
（1）求证：面PAD∥面BCE．
（2）求PO与平面PAD所成角的正弦．
（3）求二面角P-EB-C的正切值．
如图，已知正方形ABCD的中心为E（-1，0），一边AB所在的直线方程为x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．
已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=
3
4
，则其中的真命题是（　　）
已知正方形ABCD的边长为1，设
AB
=
a
，
BC
=
b
，
AC
=
c
，则|
a
-
b
+
c
|等于（　　）
A、0
B、
2
C、2
D、2
2
已知正方形ABCD的边长为
2
，
AB
=
a
，
BC
=
b
，
AC
=
c
，则|
a
+
b
+
c
|=
4
4
．

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